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Premessa

Esiste un percorso evolutivo che collega i diversi tipi di numero, mostrando l’evoluzione compiuta dal pensiero astratto dell’uomo nella comprensione di questi concetti verso una visione sintetica della crescita del corpo mentale dell’Umanità.
Al termine di questo excursus verso livelli di sempre maggiore astrazione, verrà mostrato come i livelli raggiunti – pur essendo astratti – sono però strettamente collegati alla realtà del mondo fisico: si può cogliere, infatti, un perfetto parallelo tra i numeri e i concetti della Meccanica Quantistica.

I numeri elementari

Il percorso inizia dai numeri elementari, che non sono altro che i numeri con cui abbiamo maggiore familiarità: sono i numeri, con cui abbiamo imparato a contare da bambini. Uno, due, tre, dieci, cento, mille.
Ognuno di noi ha esperienza di aver insegnato a contare a un bambino, oppure ha memoria di quando ha imparato a contare. Dapprima si imparano i numeri da 1 a 10, dopodiché si compie un enorme salto arrivando fino a venti: la caratteristica di questi primi venti numeri è di “avere ognuno il proprio nome”. C’è una fase di sconcerto nel bambino quando comprende che i numeri sono potenzialmente infiniti, e sorge la domanda su come poter conoscere il nome di ognuno. La domanda poi scompare, nel momento in cui si comprendono le regole con cui comporre i nuovi numeri: due-cento, tre-mila, e poi la composizione due-cento-mila. In questo passaggio, la mente del bambino ha fatto il suo primo sforzo di astrazione, imparando gli strumenti per “cogliere anche ciò che non conosce”, ossia i “numeri senza nome”.
I numeri elementari sono utilizzati appunto per funzioni elementari, e corrispondono al primo stadio evolutivo dell’uomo. Le funzioni elementari sono molto collegate al piano fisico, si pensi agli esempi con cui si insegna ai bambini: 3 pere, 2 mele, ecc. C’è, quindi, una corrispondenza diretta tra numero e oggetto fisico. Questa corrispondenza costituisce una piccola barriera, il superamento della quale richiede uno sforzo di astrazione, come sarà evidente più avanti.
Dal punto di vista matematico, l’insieme dei numeri elementari corrisponde ai numeri interi positivi. Il simbolo adottato dalla comunità matematica è N. Graficamente, l’insieme N può essere rappresentato come un insieme allineato di punti, che cresce verso destra.

 

L’insieme N

L’insieme N è chiuso rispetto all’operazione di somma: con questa espressione si intende che ogni somma di numeri di N è ancora un numero di N, come è facile intuire.
L’insieme N però non è chiuso rispetto all’operazione inversa della somma, ossia rispetto alla differenza: sappiamo tutti che se sottraiamo un numero “troppo grande” (per usare un linguaggio figurato) cadiamo al di fuori di N.
Quindi per includere i risultati di tutte le possibili differenze di numeri di N occorre estendere l’insieme N, occorre “ingrandirlo”.

I numeri naturali

L’insieme dei “numeri naturali” è esattamente l’insieme che “nasce” nel momento in cui si estende l’insieme N includendo i risultati di tutte le possibili differenze di numeri di N. Questa operazione di “estensione” prende il nome di completamento: l’insieme dei numeri naturali è il completamento rispetto alla differenza dell’insieme dei numeri elementari.
I numeri naturali non sono altro che i numeri interi, positivi e negativi. Questo insieme è indicato in matematica con Z. La rappresentazione grafica è ancora un insieme allineato di punti, che cresce anche verso sinistra.

 

L’insieme Z

Il passaggio dai numeri elementari ai numeri naturali corrisponde a una crescita in termini di espansione della mente: infatti i numeri negativi sono inutili per le funzioni elementari dell’uomo. È sufficiente pensare ai famosi esempi per i bambini: 3 mele più 5 mele ha senso, mentre 3 mele meno 5 mele non ha alcun senso – almeno finché si rimane ancorati all’esempio fisico delle mele.
Pensando agli esempi di chi usa i numeri negativi, diventa evidente il salto in termini di mente astratta che vi corrisponde. I numeri negativi sono tipicamente usati dai ragionieri per rappresentare i bilanci, per cui i numeri positivi sono le entrate e i numeri negativi sono le uscite: arrivati alla somma finale, se il risultato è positivo allora l’azienda è andata bene e ha guadagnato, mentre se il risultato è negativo allora l’azienda è andata male e sta in sofferenza.
Già nell’utilizzo dei numeri negativi si comincia a intravedere la crescita della capacità di astrazione: infatti per comprendere “3 meno 5” è necessario che il bambino (nostro destinatario privilegiato in questi esempi) si sganci dall’esempio concreto delle mele, e cominci a ragionare un po’ più in astratto, per cui “avere -2 mele” vuol dire avere un debito di 2 mele.
Come già detto, Z è chiuso rispetto alle operazioni di somma e differenza. Introduciamo allora una nuova operazione: la moltiplicazione.
Rispetto alla moltiplicazione, l’insieme Z è chiuso, nel senso che qualunque moltiplicazione di elementi di Z è ancora un elemento di Z. Non è invece chiuso rispetto all’operazione inversa della moltiplicazione, ossia rispetto alla divisione. Allora non facciamo altro che ripetere il medesimo procedimento adottato per i numeri elementari: estendiamo Z includendo i risultati di tutte le possibili divisioni.

I numeri razionali

L’estensione di Z rispetto alla divisione crea l’insieme dei numeri razionali: corrispondono alle ben note frazioni, oppure – ma la definizione è esattamente equivalente – ai numeri decimali (i famosi numeri con la virgola), includendo anche i numeri decimali periodici. Il termine “razionale” indica che si tratta del risultato di un “rapporto”; una frazione appunto.
I numeri decimali vengono utilizzati in un insieme più complesso di funzioni umane, e denotano quindi un ulteriore scalino evolutivo: si pensi alle operazioni di banca, che utilizzano sia le unità che i numeri decimali.
Il simbolo matematico di questo insieme è Q. La rappresentazione grafica di Q è costituita da una retta. O almeno, così si pensava.
Per parecchi anni (stiamo parlando della Grecia aurea avanti Cristo) la retta dei numeri razionali era apparsa come una retta piena: grande fu invece lo stupore quando ci si accorse che esistono numeri che non possono essere espressi in termini di alcun rapporto. La retta era piena di buchi.

I numeri di cui stiamo parlando sono ad esempio:

  • la diagonale del quadrato di lato 1
  • la circonferenza di raggio 1

Entrambi questi numeri non sono razionali, non sono un rapporto. Oggi sappiamo che sono rispettivamente:

  • √2 (radice quadrata di 2)
  • π (Pi Greco)

 

L’insieme Q: una retta “piena di buchi”

Ritornando alla nostra descrizione mediante operazioni, possiamo dire che Q è chiuso rispetto all’operazione di elevamento a potenza, ma non è chiuso rispetto all’operazione inversa, ossia l’estrazione di radice. Seguendo il procedimento già adottato, estendiamo l’insieme includendo i risultati di tutte le possibili radici.
Questa è una semplificazione: in realtà non è sufficiente includere tutte le possibili radici, in quanto ci sono numeri che esulano anche da questo insieme come ad esempio il π.

I numeri reali

Con la precedente operazione di estensione di Q abbiamo creato un nuovo insieme: il nome è “numeri reali”, e il simbolo adottato in matematica è R.
La rappresentazione grafica di R è una retta, infinita in entrambe le direzioni, questa volta perfettamente piena, completa in ogni suo punto.

 

L’insieme R

Quali utilizzatori dei numeri reali prendiamo come esempio i fisici. Pensando ai fisici, è facile rendersi conto della dell’espansione della mente astratta corrispondente: siamo partiti dalle mele, e ora siamo approdati alla più nobile delle scienze.
Vi è poi un altro esempio, molto significativo per quanto riguarda le analogie che stimola: ad utilizzare i numeri reali sono anche gli ingegneri. Il compito degli ingegneri è di progettare, ossia danno forma alla sostanza mentale per poi farla ricadere sulla sostanza materiale.
Una volta costruito l’insieme R, sembrerebbe che siamo giunti al termine: siamo partiti da punti allineati su una retta, e siamo giunti alla retta completa in ogni suo punto, nessuno escluso.
Eppure R non è perfettamente chiuso: esistono operazioni che non si concludono in R. L’esempio è molto semplice:

√(-1)

Le radici quadrate di numeri negativi (che sono numeri di R) non stanno in R. È quindi necessario estendere ancora l’insieme dei numeri.

I numeri complessi e immaginari

L’estensione di R si effettua includendo un unico numero:

i=√(-1)

Con i è possibile definire tutte le possibili radici di elementi di R.
L’elemento i è detto “numero immaginario”, e l’estensione di R con i è detta “numeri complessi”, insieme per il quale è stato adottato il simbolo C.
Molto interessante è la rappresentazione grafica di C: C “esce” dalla retta e crea una nuova dimensione, infatti la sua rappresentazione grafica è quella di un piano.

 

 

L’insieme C, in cui sono state rappresentate le due unità (1 e i) e i loro opposti

Il passaggio appena effettuato è molto interessante, e rende molto bene il processo di astrazione che è stato necessario. È stato necessario rompere uno schema, uscire dal seminato, e affidarsi al potere della mente, la mente superiore, e cogliere qualcosa che sta al di là del fisico. Non per niente, per il nuovo numero, i, è stato scelto il nome di “immaginario”, per indicarne la distanza dal mondo fisico. Se già era difficile visualizzare “meno 2 mele”, diventa impossibile comprendere “i mele”. Con i numeri immaginari e complessi il parallelo con il mondo fisico non è più importante, la separazione è stata effettuata, e ora la mente volteggia nello spazio dell’astrazione, nel mondo delle idee e degli archetipi.

Il significato fisico di i

Per molti anni i numeri immaginari sono rimasti relegati nelle conversazioni per matematici. Fino all’inizio del ‘900.
Nel ventesimo secolo vide la luce una delle più grandi costruzioni teoriche della fisica: la Meccanica Quantistica (MQ). Come noto, si trattò di una vera rivoluzione scientifica, che seguì di pochi anni una rivoluzione altrettanto profonda e importante, la Teoria della Relatività. Ebbene, le equazioni della MQ erano scritte in termini di numeri complessi, e non di numeri reali come era stato fino ad allora per ogni e qualunque equazioni di qualsivoglia branca della fisica: già questo dà un’idea del carattere rivoluzionario della teoria.
Come si scoprì dopo poco, la ragione di ciò è legata alla natura stessa della realtà: infatti la componente reale del numero complesso (asse X) rappresenta il campo elettrico, e la componente immaginaria ne rappresenta il campo magnetico. È a tutti noto che elettricità e magnetismo non sono due fenomeni distinti, ma sono profondamente legati, anzi, “sono la stessa cosa”, tanto che si parla unicamente di “elettromagnetismo”. Ebbene, i numeri complessi ci hanno mostrato che i numeri reali sono solo una parte del tutto, e alla stessa maniera l’elettricità è solo una parte del fenomeno più esteso dell’elettromagnetismo. Non è possibile scindere l’elettromagnetismo, così come non è possibile scindere un numero “vero”, un numero complesso.
Diventa quindi evidente il salto di astrazione compiuto con la scoperta dei numeri immaginari: non si trattava di un giochetto per matematici, ma semplicemente di una componente fondamentale della realtà ultima del mondo fisico. L’evoluzione compiuta dalla mente umana da quando ha cominciato a riflettere sui numeri è ora molto evidente, ed è altrettanto evidente la scalata attraverso i sottopiani del piano mentale.

Conclusioni

Come abbiamo visto, ad ogni categoria di numero corrisponde un diverso livello di lavoro che si può svolgere, rappresentato dalla complessità, che la mente può cogliere rispetto ai diversi livelli evolutivi.
Possiamo dire che i numeri che si trovano sulla retta sono la metafora dell’uomo ordinario, il quale segue una vita lineare e con operazioni apparentemente ampie, ma comunque limitate.
Metaforicamente, i numeri positivi possono essere simboli della realtà manifesta, mentre i numeri negativi possono essere simboli della dimensione non ancora manifesta (realtà sottile): l’introduzione dei numeri negativi consente di fare un passaggio, perché l’uomo comincia ad interrogarsi, non solo sulla realtà oggettiva, ma anche su realtà energetiche (denaro).
L’introduzione dei numeri razionali evidenzia un ulteriore passaggio, in cui l’uomo inizia ad osservare e leggere la realtà, in termini di rapporti tra le parti, riempiendo i vuoti tra le singole unità (numeri naturali), creando dei nuovi valori, che prima non esistevano.
L’introduzione dell’operazione della radice quadrata, utilizzata per calcolare la diagonale del quadrato, simbolicamente rappresenta il passaggio evolutivo, in cui la mente dell’uomo (ingegnere) inizia ad incidere sulla materia, ed utilizzarla per progettare e costruire. In questa fase, l’uomo cerca la causa (radice), della realtà oggettiva (numeri positivi) e la utilizza per i suoi progetti.
La conoscenza più ampia si raggiunge quando si cerca di “arrivare alla radice della realtà sottile” (radice di numeri negativi).
Infatti, l’aspirante riesce ad andare fuori dalla retta e cogliere il Piano, unendo il processo mentale del matematico (mente astratta) ad una visione spirituale della realtà.
Quindi i numeri, anche se apparentemente non hanno un collegamento con la realtà, se studiati secondo gli insegnamenti della Scienza dello Spirito permettono di avvicinarsi al mondo delle Idee.